On a commis plus tard la même erreur momentanée dans les premiers temps du calcul infinitésimal, pour l'intégration des équations différentielles.

La résolution de ces équations par des méthodes qui varieront d'un cas à l'autre laissera subsister un vaste champ de recherches.

On le sentira aisément, si l'on considère que, pour faire rentrer une question dans le domaine de l'analyse mathématique, il faut d'abord être parvenu à découvrir des relations précises entre les quantités coexistantes dans le phénomène étudié, l'établissement de ces équations des phénomènes étant le point de départ nécessaire de tous les travaux analytiques.

Il suit donc de cette considération évidente que, quand même l'imperfection de l'algèbre ne s'opposerait pas à l'emploi indéfini d'un procédé semblable, la classification générale des surfaces par le degré et la forme de leurs équations serait entièrement impraticable.

On conçoit immédiatement combien une telle faculté doit faciliter la formation des équations entre les différentielles des quantités, puisque, au lieu de ces différentielles, on pourra substituer tels autres élémens qu'on voudra, et qui seraient plus simples à considérer, en se conformant à cette seule condition, que les nouveaux élémens ne diffèrent des précédens que de quantités infiniment petites par rapport à eux.

il présente naturellement autant de parties différentes que l'on peut concevoir de classes d'équations vraiment distinctes;

En effet, sût-on même intégrer indistinctement toute équation du premier ordre relative à une fonction unique, cela ne suffirait point pour faire obtenir l'intégrale définitive d'une équation d'un ordre quelconque, toute équation différentielle n'étant pas réductible à celle d'un ordre immédiatement inférieur.

Je veux parler de ce qu'on appelle les solutions singulières des équations différentielles, dites quelquefois, mais à tort, solutions particulières, qui ont été le sujet de travaux très-remarquables de la part d'Euler et de Laplace, et dont Lagrange surtout a présenté une si belle et si simple théorie générale.

Il en résulte évidemment la faculté d'introduire ces fonctions dans les équations, même par rapport aux inconnues, pourvu qu'il n'y entre pas concurremment des fonctions non-trigonométriques des mêmes variables.

il avait résolu un grand nombre d'équations, preuve certaine que ses affaires de coeur allaient mal.

En appliquant ainsi le système des équations différentes aux différents faits historiques (batailles, campagnes, durée des guerres), il en résulte une série de nombres, qui renferment assurément et peuvent fournir au besoin de nouvelles lois.

Ces deux parties, qui constituent l'objet immédiat du calcul des fonctions directes, sont dominées par une troisième purement spéculative, à laquelle l'une et l'autre empruntent leurs ressources les plus puissantes, et qui a été très-exactement désignée par le nom général de théorie des équations, quoique cependant elle ne porte encore que sur les équations dites algébriques.

Quand on veut se faire une juste idée de la nature des diverses équations qui expriment les conditions de l'équilibre d'un système quelconque de forces, il est, ce me semble, insuffisant de se borner à constater que l'ensemble de ces équations est indispensable pour l'équilibre, et l'établit inévitablement.

Pour organiser la représentation des formes géométriques par des équations analytiques, on doit surmonter préalablement une difficulté fondamentale, celle de réduire à des idées simplement numériques les élémens généraux des diverses notions géométriques;

En conséquence, quelque faible qu'on pût supposer à priori la difficulté propre au degré que l'on considère, comme elle se complique inévitablement, dans l'exécution, de celles que présentent tous les degrés précédens, la résolution offre donc réellement plus d'obstacles à mesure que le degré de l'équation s'élève.

car, outre le motif précédent, dont l'influence est évidemment ici analogue, et même à un plus haut degré, il est aisé de sentir que l'ordre supérieur des équations différentielles donne lieu nécessairement à des questions d'une nature nouvelle.

De même que dans les deux termes d'une équation algébrique on élimine les quantités qui s'annulent, il effaçait dans ses colonnes les raisons contraires qui se balançaient, soit qu'une raison pour valût une, deux ou trois raisons contre, soit qu'une raison contre valût plusieurs raisons pour.

En supposant que les forces soient entièrement quelconques, et qu'elles soient appliquées aux divers points d'un corps solide, qui ne soit d'ailleurs assujetti à aucune condition particulière, on parvient aussi immédiatement et de la manière la plus simple aux six équations générales de l'équilibre rapportées ci-dessus d'après la méthode dynamique.

et réciproquement la relation de la géométrie à l'algèbre fondée sur la peinture des équations par les lignes.

on ne fait que traduire la même idée d'un langage en un autre, du langage sensible en langage abstrait, comme on traduit une courbe en une équation, comme on exprime un cube par une fonction de son côté.

On sait que, dans ce cas, l'expression P/delta p+P'/delta p'+ etc., qui forme le premier membre de l'équation générale des vitesses virtuelles, se trouve nécessairement être toujours une différentielle exacte.

l'optique et l'acoustique théoriques sont le développement des équations du mouvement vibratoire.

Pour compléter l'explication philosophique de la conception fondamentale qui sert de base à la géométrie analytique, je crois devoir indiquer ici une nouvelle considération générale, qui me semble particulièrement propre à mettre dans tout son jour cette représentation nécessaire des lignes par des équations à deux variables.

d'où deux parties ordinairement désignées par les noms de différentiation des formules et différentiation des équations.

Il faut d'ailleurs observer que la formule qui exprimerait la racine d'une équation du degré m devrait nécessairement renfermer des radicaux de l'ordre m (ou des fonctions d'une multiplicité équivalente), à cause des m déterminations quelle doit comporter.